常用数制

解密计算机的“数字语言”：常用数制大起底！

哈喽！ 👋 有没有觉得 “数字” 就像我们生活中的 “空气” 一样，无处不在，又不可或缺？ 我们用数字来记录年龄、计算价格、衡量距离… 没有数字，现代社会简直无法想象！

但是，你有没有想过，我们人类常用的 “数字系统”，跟计算机内部使用的 “数字系统”，其实是不太一样的呢？ 🤔 这就像我们人类有 “汉语”、“英语”、“法语” 等等不同的语言一样，计算机也有它自己独特的 “数字语言”。

今天，就让我来当一回 “语言老师”，带你学习几种计算机世界里最常用的 “数字语言” —— 数制。 掌握了这些 “数制”，就如同掌握了 打开计算机世界大门的钥匙，让你对计算机的理解更上一层楼！ 🚀

🗣️ 什么是 “数制”？ （给数字 “穿上不同的衣服”）

在我们深入各种具体的 “数制” 之前，先来简单理解一下 “数制” 到底是什么意思。 你可以把 “数制” 想象成 给数字 “穿上不同的衣服”。

我们平时用的 “十进制”，就像是数字的 “日常休闲装”，简单、自然、方便我们日常使用。 但是，计算机的世界，更喜欢 “二进制” 这种 “工作制服”，简洁、高效、更适合计算机硬件的工作方式。

“数制” 的本质，就是一套 计数规则。 它规定了：

1. 用哪些 “数字符号” 来表示数值？ 例如，十进制用 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这十个符号。
2. 如何进行进位？ 例如，十进制是 “逢十进一”，二进制是 “逢二进一”。

不同的数制，就像不同的 “方言” 一样，虽然表达的是 同一个意思 (数值)，但是 “表达方式” (数字符号和进位规则) 却不一样。 就像 “我爱你”，用汉语说，用英语说 “I love you”，用法语说 “Je t’aime”，虽然语言不同，但表达的爱意却是相同的。

接下来，我们就来逐一认识几种计算机中常用的 “数制方言” 吧！

🔢 “方言” 一： 十进制 (Decimal - D) — 我们最熟悉的 “母语”

十进制 (Decimal) ，是我们 人类最常用，也是最熟悉 的数制。 之所以选择十进制，很可能是因为我们 有十根手指 ，数数的时候掰手指最方便 (这纯属猜测啦 😉)。

十进制的特点：

• 基数： 10 — 也就是说，十进制使用 10 个不同的数字符号： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 。
• 进位规则： 逢十进一 — 当某一位的数值达到 10 时，就向高位进 1。

举个例子： 我们平时数数： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9， 接下来就是 10 (逢十进一，个位变 0，十位变 1)， 然后是 11, 12, … 19， 接下来又是 20 (逢十进一，个位变 0，十位进 1)， 以此类推。

在十进制中，每一个数字的位置都代表着不同的 “权值” (位权) 。 例如，对于十进制数 123：

• 个位 (右边第一位)： 3 — 表示 3 * 10^0 = 3 * 1 = 3
• 十位 (右边第二位)： 2 — 表示 2 * 10^1 = 2 * 10 = 20
• 百位 (右边第三位)： 1 — 表示 1 * 10^2 = 1 * 100 = 100

所以，123 实际上就等于 100 + 20 + 3 = 123。 这里的 10^0, 10^1, 10^2 就是十进制的 位权 (权值) ， 底数 (10) 就是十进制的 基数 。

虽然十进制我们非常熟悉，但是，计算机内部却 不直接使用十进制 ，而是使用另一种更简洁、更高效的数制 —— 二进制。

💡 “方言” 二： 二进制 (Binary - B) — 计算机的 “母语” （重点！）

二进制 (Binary) ，是 计算机世界的 “通用语言” ，也是 计算机硬件最容易 “理解” 和 “实现” 的数制 。 之所以选择二进制，是因为计算机内部的电子元件 (例如晶体管)， 天生就具有 “两种状态” 的特性 ：

• 导通 (通电) — 可以表示 “1” (真、True、高电平)
• 截止 (断电) — 可以表示 “0” (假、False、低电平)

这就像 开关的 “开” 和 “关” 两种状态 ， 或者 电灯的 “亮” 和 “灭” 两种状态 一样， 非常简单，而且 易于实现，稳定可靠。

二进制的特点：

• 基数： 2 — 也就是说，二进制只使用 2 个不同的数字符号： 0 和 1 。 所以，二进制数中， 只会出现 0 和 1 这两个数字。
• 进位规则： 逢二进一 — 当某一位的数值达到 2 时，就向高位进 1。

举个例子： 二进制数数： 0, 1， 接下来就是 10 (逢二进一，个位变 0，十位变 1)， 然后是 11， 接下来又是 100 (逢二进一，个位和十位都变 0，百位进 1)， 以此类推。

在二进制中，每一个数字的位置也代表着不同的 “权值” (位权) 。 例如，对于二进制数 1011：

• 第 0 位 (右边第一位)： 1 — 表示 1 * 2^0 = 1 * 1 = 1
• 第 1 位 (右边第二位)： 1 — 表示 1 * 2^1 = 1 * 2 = 2
• 第 2 位 (右边第三位)： 0 — 表示 0 * 2^2 = 0 * 4 = 0
• 第 3 位 (右边第四位)： 1 — 表示 1 * 2^3 = 1 * 8 = 8

所以，二进制数 1011 转换为十进制数，就等于 8 + 0 + 2 + 1 = 11。 这里的 2^0, 2^1, 2^2, 2^3 就是二进制的 位权 (权值)， 底数 (2) 就是二进制的 基数。

二进制虽然只有 0 和 1 两个数字，看起来很 “简陋”，但它却可以表示 世界上所有的数值和信息 。例如，数字、文字、图片、音频、视频，在计算机内部，最终都会被 转换成二进制代码 来存储和处理。

二进制是计算机的 “基石”，理解二进制，是理解计算机工作原理的关键一步！

🧑‍🤝‍🧑 “方言” 三 和 “方言” 四： 八进制 (Octal - O) 和 十六进制 (Hexadecimal - H) — 二进制的 “简写形式”

八进制 (Octal) 和 十六进制 (Hexadecimal) ， 这两种数制，在计算机中也经常用到。 但它们 并不是计算机 “直接使用” 的语言，而是 为了方便人类阅读和书写二进制数而 “发明” 的 “简写形式”。

原因： 我们已经知道，二进制数虽然简洁，但是 对于人类来说，读写起来却非常 “冗长” 。 例如，十进制数 255， 用二进制表示就是 11111111， 要写 8 个 1，很容易看错数错。 如果数字再大一些，二进制表示就会更长，更难读写。

为了解决这个问题，人们就发明了 八进制和十六进制。 八进制和十六进制，可以看作是 二进制的 “压缩版” ，它们可以用 更少的位数 来表示 相同的数值 ，而且 与二进制之间的转换非常方便 。

3. 八进制 (Octal - O)

八进制的特点：

• 基数： 8 — 使用 8 个数字符号： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。
• 进位规则： 逢八进一。

八进制与二进制的 “速记” 关系： 每 3 位二进制数，可以对应 1 位八进制数。 因为 2^3 = 8。 这使得 二进制转八进制，以及八进制转二进制 变得非常简单快捷。

4. 十六进制 (Hexadecimal - H)

十六进制的特点：

• 基数： 16 — 使用 16 个数字符号： 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F。 其中， A, B, C, D, E, F 分别代表十进制的 10, 11, 12, 13, 14, 15。
• 进位规则： 逢十六进一。

十六进制与二进制的 “速记” 关系： 每 4 位二进制数，可以对应 1 位十六进制数。 因为 2^4 = 16。 这使得 二进制转十六进制，以及十六进制转二进制 变得非常非常简单快捷。 十六进制是计算机领域最常用的二进制 “简写” 形式！ 例如， 内存地址、颜色代码、HTML 网页代码 等等，都经常使用十六进制表示。

总结一下：

数制	基数	数字符号	进位规则	与二进制关系	主要用途
十进制 (D)	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	逢十进一	-	人类日常使用
二进制 (B)	2	0, 1	逢二进一	-	计算机内部表示和运算
八进制 (O)	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	逢八进一	3 位二进制对应 1 位	简化二进制表示 (较少用)
十六进制 (H)	16	0-9, A, B, C, D, E, F	逢十六进一	4 位二进制对应 1 位	简化二进制表示 (常用)，例如内存地址、颜色代码

🔄 数制之间的 “翻译”： 不同数制间的互相转换 （重点和难点！）

学会了各种数制，更重要的是要 掌握不同数制之间的互相转换 。 这就像学会了 “英语” 和 “汉语” 两种语言，还要学会 “英汉互译” 一样！ 掌握数制转换，可以帮助我们 在不同的数字表示之间灵活切换，更好地理解计算机内部的数据表示方式。

1. 二进制转十进制： “按权展开求和”

方法： 将二进制数的 每一位 从 个位 (右边第一位) 开始 ，依次乘以 2 的 0 次方、1 次方 、2 次方 … 然后将 所有乘积相加 ，就得到了对应的十进制数。

公式： $(b_n b_{n-1} ... b_1 b_0)_B = \sum_{i=0}^{n} b_i \times 2^i$

举例： 将二进制数 101101 转换为十进制数。

1. 写出二进制数： 1 0 1 1 0 1
2. 从右往左，标出每一位的 “权值” (2 的几次方)：
   2^5 2^4 2^3 2^2 2^1 2^0
1 0 1 1 0 1
3. 将每一位的数值乘以对应的权值，然后求和：
   (1 * 2^5) + (0 * 2^4) + (1 * 2^3) + (1 * 2^2) + (0 * 2^1) + (1 * 2^0)
= (1 * 32) + (0 * 16) + (1 * 8) + (1 * 4) + (0 * 2) + (1 * 1)
= 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1
= 45

所以，二进制数 101101 转换为十进制数，就是 45。

2. 十进制转二进制： “除 2 取余，逆序排列”

方法： 将十进制数不断除以 2，每次得到的 “余数” 记录下来，直到商为 0 为止。 然后将所有余数倒过来 (逆序排列)，就得到了对应的二进制数。

举例： 将十进制数 45 转换为二进制数。

1. 用 45 除以 2，商为 22，余数为 1： 45 ÷ 2 = 22 ... 1
2. 用商 22 继续除以 2，商为 11，余数为 0： 22 ÷ 2 = 11 ... 0
3. 用商 11 继续除以 2，商为 5，余数为 1： 11 ÷ 2 = 5 ... 1
4. 用商 5 继续除以 2，商为 2，余数为 1： 5 ÷ 2 = 2 ... 1
5. 用商 2 继续除以 2，商为 1，余数为 0： 2 ÷ 2 = 1 ... 0
6. 用商 1 继续除以 2，商为 0，余数为 1： 1 ÷ 2 = 0 ... 1 （商为 0，结束）
7. 将所有余数 逆序排列 (从下往上读)： 1 0 1 1 0 1

所以，十进制数 45 转换为二进制数，就是 101101。

3. 二进制转八进制： “三位一组，按组转换” （技巧！）

方法： 将二进制数 从右往左，每 3 位分成一组 (最左边不足 3 位，用 0 补齐)， 然后将每一组 3 位二进制数，直接转换为对应的 1 位八进制数。

对照表：

二进制 (3 位)	八进制 (1 位)
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

举例： 将二进制数 101101110 转换为八进制数。

1. 将二进制数从右往左，每 3 位一组划分： 101 101 110
2. 将每一组 3 位二进制数，查表转换为对应的 1 位八进制数：
   • 101 -> 5
   • 101 -> 5
   • 110 -> 6
3. 将转换后的八进制数 ** 从左往右排列： 5 5 6

所以，二进制数 101101110 转换为八进制数，就是 556。

4. 八进制转二进制： “一位变三位，展开转换” （技巧！）

方法： 将八进制数的 每一位， 直接转换为对应的 3 位二进制数。

举例： 将八进制数 556 转换为二进制数。

1. 将八进制数的每一位，查表转换为对应的 3 位二进制数：
   • 5 -> 101
   • 5 -> 101
   • 6 -> 110
2. 将转换后的二进制数 ** 从左往右排列： 101 101 110

所以，八进制数 556 转换为二进制数，就是 101101110。

5. 二进制转十六进制： “四位一组，按组转换” （技巧！）

方法： 将二进制数 从右往左，每 4 位分成一组 (最左边不足 4 位，用 0 补齐)， 然后将每一组 4 位二进制数，直接转换为对应的 1 位十六进制数。

对照表：

二进制 (4 位)	十六进制 (1 位)
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

举例： 将二进制数 1101011110 转换为十六进制数。

1. 将二进制数从右往左，每 4 位一组划分： 11 0101 1110 （最左边 11 不足 4 位，用 00 补齐： 0011 0101 1110）
2. 将每一组 4 位二进制数，查表转换为对应的 1 位十六进制数：
   • 0011 -> 3
   • 0101 -> 5
   • 1110 -> E
3. 将转换后的十六进制数 ** 从左往右排列： 3 5 E

所以，二进制数 1101011110 转换为十六进制数，就是 35E。

6. 十六进制转二进制： “一位变四位，展开转换” （技巧！）

方法： 将十六进制数的 每一位， 直接转换为对应的 4 位二进制数。

举例： 将十六进制数 35E 转换为二进制数。

1. 将十六进制数的每一位，查表转换为对应的 4 位二进制数：
   • 3 -> 0011
   • 5 -> 0101
   • E -> 1110
2. 将转换后的二进制数 ** 从左往右排列： 0011 0101 1110 （最左边的 00 可以省略： 1101011110）

所以，十六进制数 35E 转换为二进制数，就是 1101011110。

掌握了这些数制转换的方法，你就能轻松地在不同 “数字语言” 之间自由切换了！ 是不是感觉自己也变成了一个 “数字翻译家” 呢？ 😉

🤔 为什么要学习 “数制”？ （敲黑板！划重点！）

你可能会问：“老师，我学会这些 ‘数制’ 有什么用呢？ 我平时都用十进制，好像也没什么问题啊？”

问得好！ 👍 就像我们学习英语，虽然平时生活中可能用不到，但是，当你需要 阅读英文资料，或者和外国人交流 时，英语就变得非常重要了。 学习 “数制”，也是为了更好地理解和应用计算机技术。

学习 “数制” 的重要性：

1. 理解计算机内部的数据表示： 计算机内部 所有的数据，最终都是以二进制形式存储和处理的。 理解二进制，是 理解计算机工作原理的基础。

2. 方便阅读和书写二进制： 八进制和十六进制，虽然不是计算机 “母语”，但它们 可以作为二进制的 “简写形式”，方便程序员 阅读和书写较长的二进制数，例如内存地址、机器指令、颜色代码等等。

3. 进行底层编程和硬件操作： 在进行 底层编程 (例如汇编语言编程) 或者进行硬件操作 时，经常需要 直接操作二进制、八进制或十六进制数。 例如，设置寄存器、控制 I/O 端口、分析内存数据等等。

4. 游戏行业应用： 即使是 游戏美术师、建模师、独立游戏开发者，了解数制也有助于：

   • 理解颜色代码： 颜色代码 (例如 RGB 颜色值) 经常用十六进制表示。 了解十六进制，可以更好地 理解和使用颜色，进行美术资源制作。
   • 理解内存和存储： 了解二进制、八进制、十六进制，可以帮助理解 游戏资源在内存和硬盘中的存储方式和大小， 进行资源优化，减少游戏安装包大小，提高游戏运行效率。
   • 进行性能分析和优化： 在进行 游戏性能分析和优化 时，可能需要 查看和分析底层的硬件数据 (例如内存地址、寄存器值等)， 了解数制可以帮助你 更好地理解这些数据，进行性能调优。

总而言之，理解 “数制”，是进入计算机世界，提升自身技能，扩展职业发展的重要一步。 无论你将来从事什么方向的计算机相关工作，扎实的 “数制” 基础，都会让你受益匪浅！

📖 总结： 掌握 “数字语言”，畅游计算机世界！

通过今天的学习，我们一起探索了计算机世界里常用的几种 “数制”： 十进制、二进制、八进制、十六进制， 以及它们之间的 互相转换方法。 你现在是不是感觉，自己对计算机的 “数字语言” 已经有了更清晰的认识了呢？ 🎉

记住： 二进制是计算机的 “母语”，也是计算机世界的 “基石”； 八进制和十六进制是二进制的 “简写形式”，方便人类阅读和书写； 十进制是我们人类最熟悉的 “母语”，方便日常使用。 掌握了这些 “数字语言”，就如同掌握了 进入计算机世界的 “通行证”， 让你能够 更深入地理解计算机的奥秘，更自由地畅游于数字世界！

继续加油，探索更多计算机的 “语言” 和 “秘密” 吧！ 相信你会在这个充满挑战和乐趣的学习过程中，收获满满，成为真正的 “数字达人”！ 💪✨